隨機變量模型和隨機過程模型是研究應(yīng)力腐蝕概率的常用模型，本章重點介紹隨機變量模型。

一、應(yīng)力-強度干涉模型

 1942年，Pugsley提出了采用應(yīng)力、強度分布函數(shù)曲線的干涉區(qū)面積分析失效概率的方法，即應(yīng)力－強度干涉模型，該模型在構(gòu)件和系統(tǒng)的可靠性分析中得到了廣泛應(yīng)用。目前，已成為分析構(gòu)件和系統(tǒng)失效概率的重要模型之一。在結(jié)構(gòu)可靠性分析中，應(yīng)力－強度（S-R)干涉模型應(yīng)用最廣，模型中的S和R的含義不僅僅是力學(xué)分析中的應(yīng)力和強度，二者具有更廣泛的范疇。對于一個系統(tǒng)而言，S指的是造成結(jié)構(gòu)破壞的所有因素，即推動力；R代表了結(jié)構(gòu)抵抗破壞的能力，即阻抗力。

  應(yīng)力腐蝕斷裂是一種低應(yīng)力脆斷，是斷裂和腐蝕兩種機理相互影響的結(jié)果。因此，當應(yīng)力還遠低于斷裂應(yīng)力時就能引起應(yīng)力腐蝕裂紋的產(chǎn)生和擴展。應(yīng)力作用降低了材料的耐腐蝕性能，而腐蝕降低了材料的斷裂強度，兩者是互相促進的。也就是說，機械力和化學(xué)力的協(xié)同作用導(dǎo)致了裂紋的擴展，如果只有應(yīng)力或腐蝕單獨作用，是不會出現(xiàn)應(yīng)力腐蝕斷裂的結(jié)果。應(yīng)力腐蝕斷裂要經(jīng)過一定的時間才能發(fā)生，這是因為能量積蓄到使材料破壞的程度是需要時間的，應(yīng)力腐蝕是使材料強度逐漸退化的過程，因此，我們可以采用耐久性損傷模型來描述應(yīng)力腐蝕失效的物理過程。由S-R干涉模型的理論可以寫出結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程

  因此，對于失效概率的研究就轉(zhuǎn)化為對強度和應(yīng)力由于概率分布干涉引起的狀態(tài)失效問題的研究。當fs(s)和fR(r)分別表示應(yīng)力和強度的概率密度函數(shù)時，圖中兩者重疊部分面積反映了失效概率的大小，如圖6-1所示。

  假如最初應(yīng)力與強度是留有充分的安全余量的，那么經(jīng)過一定時間后，隨著應(yīng)力分布與強度分布的交疊，就有失效發(fā)生，這種情形可以說是耐久模型的典型例子。根據(jù)應(yīng)力－強度干涉模型不但能夠求解應(yīng)力腐蝕失效概率，還可以分析應(yīng)力腐蝕不同階段的概率情況，如裂紋的萌生概率、裂紋的擴展概率等。

  當材料發(fā)生腐蝕后，隨著時間的推移，材料抵抗破壞的能力降低，而腐蝕環(huán)境很可能變得更加苛刻。例如應(yīng)力腐蝕，隨著裂紋的擴展，材料強度降低、裂紋尖端應(yīng)力集中區(qū)域增大，局部存在侵蝕性離子的富集，使得廣義應(yīng)力變大而強度降低，此時S(t)和R(t)都是與時間有關(guān)的變量，很顯然，概率密度函數(shù)也著時間的變化而變化。當強度隨時間發(fā)生衰退時，強度和應(yīng)力組成的干涉區(qū)域隨時間變化會越來越大，這意味著產(chǎn)品可靠性在降低。

  大多數(shù)參數(shù)的不確定性與時間有關(guān)。發(fā)生應(yīng)力腐蝕時，構(gòu)件所受的廣義應(yīng)力一般是隨機過程，應(yīng)力稱為時間的函數(shù)，強度為一固定的臨界值，如圖6-2所示，功能函數(shù)應(yīng)表示為

二、應(yīng)力腐蝕參數(shù)的概率分布估計

1. 變量分布類型確定

  采用S-R模型分析應(yīng)力腐蝕失效概率時，第一步是確定應(yīng)力腐蝕的“推動力”，即S所包含的參數(shù)，包括溫度、侵蝕性離子濃度、pH值等，分析各參數(shù)的分布概型。在進行參數(shù)的概率分布類型研究中，一般經(jīng)過以下步驟：①. 假設(shè)隨機變量服從某一分布；②. 在假設(shè)分布基礎(chǔ)上構(gòu)建統(tǒng)計量；③. 根據(jù)統(tǒng)計量的分布做出統(tǒng)計推斷，進行擬合檢驗；④. 選擇最優(yōu)概型。常用的統(tǒng)計量包括均值、標準差、極差、變異系數(shù)、偏度等。正態(tài)分布、威布爾（Weibull)分布、指數(shù)分布以及Poisson分布等都是應(yīng)力腐蝕概率分析中經(jīng)常用到的隨機變量的概率分布類型。

通常，直接計算概率的密度函數(shù)難度非常大，常用的處理方法是把概率密度估計轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計問題。因此概率密度函數(shù)的確定是關(guān)鍵，正確的密度函數(shù)是獲得準確估計值的重要前提。

2. 參數(shù)的估計和假設(shè)檢驗

由于正態(tài)分布情況發(fā)生的比較多，因此，以正態(tài)分布為例加以說明。參數(shù)估計的思路是采用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)。常用的參數(shù)估計方法有矩估計法和最大（極大）似然法，除此之外，還有最小二乘、貝葉斯估計等方法。矩估計法不受變量分布的影響，這也恰恰成為該方法的缺點，即變量的分布信息不能被充分利用，一般具有多個分析結(jié)果。與矩估計法相反，最大似然法的使用受已知變量概型的影響，必須在已知概型的前提下才能使用，而且假設(shè)的概率模型正確性對參數(shù)估計結(jié)果影響很大。最大似然估計法具有計算簡單、收斂型好等特點，在參數(shù)估計中的應(yīng)用更加廣泛，其主要計算步驟如下：

  式（6-10)稱為似然方程組，求解該方程組，得出均值、方差最大似然估計值

  以上過程是參數(shù)估計，下面對參數(shù)假設(shè)檢驗。與參數(shù)估計的目的相同，參數(shù)假設(shè)檢驗也是根據(jù)樣本信息對總體的數(shù)量特征進行推斷。

  假設(shè)檢驗是以樣本資料對總體的先驗假設(shè)是否成立，根據(jù)樣本的統(tǒng)計量檢驗假設(shè)的總體參數(shù)的可靠度，同時做出判斷結(jié)果，判斷結(jié)果包括接受和拒絕。分析過程是：①. 提出原假設(shè)（要求檢驗的假設(shè)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假設(shè)（如果原假設(shè)不成立，就要接受另一個假設(shè)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當?shù)臋z驗統(tǒng)計量；③. 計算觀測值；④. 確定顯著性水平；⑤. 依據(jù)檢驗統(tǒng)計量觀測值的位置給出判斷結(jié)果。

在以上分析過程中，可能會犯兩類錯誤：當H0為真時而拒絕H0,稱為第一類錯誤；當H0為假時而接受H0,稱為第二類錯誤。犯兩類錯誤的概率通常是矛盾的：一個概率小了另一個概率就大。在實際使用中，我們一般限定犯第一類錯誤的概率不超過給定的α,使犯第二類錯誤的概率就可能小。在正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗中，主要包括均值的U檢驗和t檢驗、方差的χ2檢驗等。

3. 分布的假設(shè)檢驗

  上一小節(jié)介紹的是在總體分布已知的情況下，對分布中的一些未知參數(shù)進行檢驗。但是，很多時候并不知道總體的分布規(guī)律，我們往往是根據(jù)樣本來假設(shè)總體的分布類型，因此，對于總體樣本所假設(shè)的分布是否正確，還需要檢驗，常用的有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗方法，其中χ2檢驗應(yīng)用較多，下面以這種方法為例，介紹檢驗過程。

  χ2檢驗法的分析過程是：①. 提出原假設(shè)；②. 檢驗假設(shè)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個互不相交的小區(qū)間把樣本數(shù)據(jù)進行分組，通常每個區(qū)間的數(shù)據(jù)不少于5個，若不滿足這一要求，可以通過合并區(qū)間來達到這一要求。假設(shè)H0成立，根據(jù)分組結(jié)果計算χ2檢驗統(tǒng)計量

4. 主要參數(shù)的概率分布

 根據(jù)以上分析步驟，對應(yīng)力腐蝕環(huán)境中的離子濃度的統(tǒng)計性進行分析。數(shù)據(jù)來自某石化企業(yè)的監(jiān)測數(shù)據(jù)。頻率直方圖要將樣本值分為r個不相交的區(qū)間，r值可由 Sturges公式確定，并取整數(shù)。r值取決于樣本數(shù)n。

  首先，假設(shè)各參數(shù)服從正態(tài)分布，并畫出正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線，該計算采用matlab編程完成，計算結(jié)果如圖6-3所示。

  從圖6-3可以看出，pH、氯離子濃度和硫酸根離子濃度滿足正態(tài)分布，而亞硫酸根離子濃度不滿足正態(tài)分布，經(jīng)過分析，認為滿足威布爾分布，如圖6-4所示。

  經(jīng)過卡方檢驗，在顯著性水平0.05下，可以認為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數(shù)威布爾分布。

  亞硫酸根離子濃度服從威布爾分布的原因：亞硫酸根不穩(wěn)定，與氫離子反應(yīng)，從而濃度逐漸減小。

三、失效概率計算方法

1. 解析法

  當應(yīng)力和強度是比較簡單的變量時，式（6-4)可以直接計算失效概率。在一些研究中，會出現(xiàn)“干涉面積＝失效概率”的說法，這種說法是不正確的。根據(jù)可靠性理論可知，應(yīng)力－強度模型中強度大于應(yīng)力的概率即為可靠度。可靠度P可根據(jù)下式計算

  從計算結(jié)果可以看出，失效概率遠小于干涉面積之和。

2. 數(shù)值解析法

  當隨機變量較多時，直接求解失效概率值是很困難的，采用數(shù)值求解是一種比較好的解決方法。在應(yīng)力腐蝕概率計算中，涉及的隨機變量較多且具有不同的分布類型，結(jié)果難以用解析法和近似法求解，可以采用蒙特卡洛（Monte-Carlo)模擬法。Monte-Carlo模擬法的特點是：①. 受研究問題維數(shù)的影響較小；②. 不受假設(shè)約束；③. 不存在狀態(tài)空間爆炸問題；④. 不受變量數(shù)量的影響。因此，Monte-Carlo法是一種處理高維動態(tài)失效概率問題的方法。

  蒙特卡洛模擬法又稱為隨機模擬法，基本思想是：